Isle的信与函数极限

6.Isle的信与函数极限

矽：

非常抱歉，非常抱歉，因为一些要紧的事情（也是我为什么来这儿的原因）我必须离开一段时间，具体多少天我也无法确定，总之有一段时间不会回来了，所以你在接下来的一段时间里暂时听不到我给你讲课了。当然，我不会忘记对你的教学，但也意味着你要进行一段时间的自我学习了，我已经为你准备好了材料。

在这两天的学习中，通过你自己的努力，你已经学习了“数列极限”的有关知识，这已经超出了你们这里对数学的认知，你的理解力也令我欣慰，使我更加确信你们家族的数学才能，也让我下定了教育你的决心——这恐怕也是你父母本期望的。接下来，回到正课的内容，我们要学的下一个方面“函数极限”的内容，以及部分“导数”的知识。

我们从数列极限的定义上进行推广：设f为定义在区间[a+∞)上的函数，再研究x趋于+∞时f(x)是否能无限接近某个定数A。如f(x)=1/x，x→+∞，f(x)→0。

而对于函数 f(x)，x趋于+∞时的极限的精确定义是：（在以上条件下）对任给的ε>0，存在正数M(≥a)使得当x>M时有|f(x)-A|<ε，则称函数f当x趋于+∞时以A为极限，记作 lim(x→+∞)f(x)=A或f(x)→A (x→+∞)。（-∞相应成立）

这个定理是不是与最早我们讲过的数列极限的“ε-N定义”十分相似？你应该可以很好地理解它吧。那么我们就用它来证明lim(x→+∞)arctan(x)=π/2。（arctan为反正切函数）

你也可以证明一下lim(x→+∞)1/x=0。

当然对于函数极限，仅仅讨论趋于∞极限是远远不够的。由于函数一般是一个具有连续区间的曲线，所以我们还要研究x趋于某一点x_0时的函数极限，这正是它与数列极限所不同之处。那么接下来，我给出函数极限中一个很重要的定义——“ε-δ(delta)定义”。

设函数f在点x_0的某个空心领域U゜(x_0;δ’)内有定义，A为定数。若对任给的ε>0，存在正数δ(<δ’)，使得当0<|x-x_0|<δ时有|f(x)-A|<ε成立，则称函数f当 x趋于点x_0时以A为极限，记作 lim(x→x_0)f(x)=A或f(x)→A (x→x_0)。

……

“ε-δ……”矽看着信，喃喃道，“今天就先看到这里吧，理解一下函数极限。”

“先证明 lim(x→+∞)1/x=0。”矽想着，抽出椅子坐下，从笔筒里拿出一支笔在纸上证明起来，“任给ε>0，使M=1/ε，则当|x|>M时，有|1/x-0|=1/|x|<1/M<ε。∴lim(x→+∞)1/x=0。”

“挺简单的，”矽想，“但是ε-δ……虽然和ε-N有一点相似，但是还是有很多不同，比如δ的取法。”

想到这里，矽回忆起了第一次上课讲ε-N定义时的内容……“几何意义！”矽猛然想到，“先用几何意义来具象地理解它吧！”

矽看了看信上函数极限的ε-δ定义，在纸上画了一个坐标系和一条函数曲线。

“f在空心领域内有定义，也就是说x∈(x_0-δ’x_0)∪(x_0x_0+δ’)，x_0本身可以取不到呀。0<|x-x_0|<δ，又有一个δ，因为正数δ<δ’，所以是包含关系，要求x在定义域内。|f(x)-A|<ε，把|f(x)-A|看做距离，也就是说要有f(x)和A的距离小于ε，而对任给的ε……也罢，在图上研究吧。”

“就算这样也还没搞清它和极限的关系呢，”矽想到，“缩小一下试试。如果把ε缩小，使横的带状区域变窄……当然存在δ，只要竖的带状区域更窄就可以符合了。”

“再考虑一下不符合条件的情况，如果A不在原处的话……那么ε缩小到一定程度时……

“举个实例，考察一下f(x)=x^2 x∈U゜(1)在x=1处的极限。这个极限似乎和 x=1时 x^2的值相等，验证一下。|f(x)-1|=|x^2-1|，故对给定的ε>0，只要取δ=√(ε)，则当0<|x^2-1|<δ时有|f(x)-1|<ε，所以lim(x→1)(x^2)=1。”

“考虑一下不符合的情况。证：lim(x→1)(x^2)=2不成立。|f(x)-2|=|x^2-2|。当0<|x^2-1|<δ时，-1-δ<x^2-2<δ-1。欲使ε>|x^2-2|∴ε<-δ-1或ε>δ-1可以推出-ε-1>δ或ε+1>δ，又εδ>0。所以当ε<1时，不存在符合条件的δ，故 lim(x→1)(x^2)≠2……”

“ limes，x→+∞！”矽吟唱道，在念完最后的“∞”的刹那，一股电麻感击穿了他的脑海，头中所余的魔量源源不断地从脑中涌出，分散到身体的各处，一种莫名的瘙痒在组织与组织间充斥。他站起身，一拳向墙挥去，墙被打凹了1er(1er=0.01cr)。

“强度似乎差不多，但持续性增强了！”矽兴奋地说道。回头看见桌上的纸，字已经变模糊，此时矽才发觉，窗外的光线已经暗了下去，他看了看怀表，已经6:17了，于是他向楼下走去，准备晚餐。“Isle不在了呀。”矽想到，尽管那个人只来了两天，他也本应习惯在家这种孤独的生活，可他现在竟然感到有些不适应。

“Isle究竟去干什么了呢？”矽发出了这样的疑问，可他没有思绪，毕竟对于Isle，矽只知道他是一个从很远很发达的地方来的而且很懂数学而已，于是他不再思考这点，只是等待着明天的到来。

次日，年试日后的第一天，矽在出镇的路上遇到了甾。

“昨天和你哥比试得如何？”矽问。

“唉，终究还是敌不过他，”甾先是一脸无奈说道，“尽管特长能力有所提升，速度还是敌不过他呀……对了，今天下午还要来你家见见那个旅行者呢，有点兴奋。”

“呃……怎么说呢。”矽解释道，“其实那个人昨天就离开我家了……”

“诶？”甾有些吃惊而略显失落，“这种旅行者行踪不定，真是失去了一个绝好的机会啊。”

“……不过他说的是‘一段时间’不会回来。”矽补充道。

“那就是说还有机会嘛，”甾说，“他回来的时候记得叫我哟。”

“好。”矽说，其实他心里对Isle是否会回来这点也感到怀疑，即使Isle说明了他会回来。因为Isle也只来了两天，就像人生中必然出现的奇迹一样，一个异乡人的到来使他脱离了低谷，获得了特长，这犹如一闪即逝的幻觉一般，异乡人又离开了，他也走上了生活的正途，不知一切是否已经结束。

“不过还有后天的合宿嘛。”甾说，“那个才是最重要的呢。”

“嗯，的确。”矽说着，笑了，直目前方的道路，微风中的A城也在两人的视线中逐渐放大。

(To be continued)

（大前提1：矽通过Isle教数学获得了特长。）

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